Проблеми, решени с помощта на уравнението. Решаване на проблеми в математиката

В хода на училищната математика има непременно проблеми. Някои са опитомени в няколко акта, други изискват някакъв пъзел.

Задачи, които трябва да бъдат решени с помощта на уравнение, само на пръв поглед трудно. Ако практикувате, този процес ще стане автоматичен.

Геометрични форми

За да разберете въпроса, трябва да разберете същността. Внимателно прочетете състоянието, по-добре е да прочетете отново няколко пъти. Проблемите за уравненията са трудни само на пръв поглед. Да разгледаме пример за началото най-прости.

При даден правоъгълник трябва да намерите неговия район. Като се има предвид: ширината е 48% по-малка от дължината, периметърът на правоъгълника е 7,6 сантиметра.

Решаване на проблеми в математиката изисква внимателно четене, логика. Да се ​​справим заедно. Какво трябва да вземете предвид преди всичко? Ние обозначаваме дължината на x. Ето защо в нашето уравнение ширината е 0.52x. На нас е дадено периметър - 7.6 см. Нека да намерим половин-периметър, за този 7.6 см разделим на 2, той е равен на 3.8 сантиметра. Получихме уравнение, чрез което намираме дължината и ширината:

0,52х + х = 3,8.

Когато получим x (дължина), няма да е трудно да намерим 0.52x (ширина). Ако познаваме тези две количества, ще открием отговора на основния въпрос.

Проблемите, решени с помощта на уравнението, не са толкова сложни, колкото изглеждат, че можем да разберем това от първия пример. Открихме дължината х = 2,5 сантиметра, ширината (ще маркираме y) от 0,52 х = 1,3 сантиметра. Минаваме до площада. Той се намира чрез простата формула S = х * у (за правоъгълници). В нашия проблем S = 3.25. Това ще бъде отговорът.

Нека разгледаме някои примери за решаване на проблеми с намирането на област. И този път вземаме правоъгълник. Решението на проблемите в математиката за намиране на периметър, площта на различни фигури е доста често. Прочитаме състоянието на проблема: даваме правоъгълник, дължината му е 3,6 сантиметра по-голяма от ширината, която е 1/7 от периметъра на фигурата. Намерете областта на този правоъгълник.

Ще бъде удобно да се обозначи ширината на променливата x, а дължината след (х + 3.6) см. Намерете периметъра:

P = 2x + 3.6.

Не можем да решим уравнението, тъй като имаме две променливи в него. Затова отново гледаме състоянието. Тя казва, че ширината е 1/7 от периметъра. Получаваме уравнението:

1/7 (2x + 3,6) = х.

За удобство на решението, умножете всяка част от уравнението с 7, така че да се отървем от фракцията:

2x + 3.6 = 7 пъти.

След решението, получаваме x (ширина) = 0.72 сантиметра. Познавайки ширината, намираме дължината:

0.72 + 3.6 = 4.32 см.

Сега знаем дължината и ширината, отговаряме на основния въпрос за това, какво е равно на площта на правоъгълника.

S = х * у, S = 3.1104 cm.

Царе с мляко

Решаването на проблеми с помощта на уравнения предизвиква много трудности за учениците, въпреки че тази тема започва в четвърти клас. Има много примери, ние разгледахме намирането на областта на фигурите, която сега малко се разсея от геометрията. Нека разгледаме простите задачи с табулация, те ви помагат визуално: така че можете да видите данните, които помагат в решението.

Поканете децата да прочетат състоянието на проблема и да създадат таблица, която да ви помогне да съставите уравнението. Ето условието: има две кутии, в първите три пъти повече мляко, отколкото във втората. Ако първото излее пет литра във второто, млякото ще бъде равно. Въпрос: Колко мляко беше във всяка кутия?

За да помогнете с решението, трябва да създадете таблица. Как изглежда?

Как ще помогне това при формулирането на уравнението? Знаем, че в резултат на равновесието на млякото уравнението ще изглежда така:

3х-5 = х + 5-

2x = 10-

х = 5.

Открихме оригиналното количество мляко във втората кутия, което означава, че в първата има: 5 * 3 = 15 литра мляко.

Сега малко обяснение за съставянето на таблицата.

Защо ние определихме първата кутия за 3 пъти: при условие, че се предвижда, че второто мляко може да е три пъти по-малко. Тогава четем, че от първия контейнер 5 литра са изцедени, следователно 3-5, и във втория изсипва: x + 5. Защо ние приравняваме тези условия? В състоянието на проблема се казва, че млякото е станало равно.

Така че получаваме отговора: първият оръдие - 15 литра, а вторият - 5 литра мляко.

Определяне на дълбочината

Състоянието на проблема: дълбочината на първия кладенец е с 3.4 метра по-голяма от втората. Първият кладенец е увеличен с 21,6 метра, а вторият - три пъти, след тези действия кладенците имат същата дълбочина. Необходимо е да се изчисли каква дълбочина е имало всяко ямка първоначално.

Методите за решаване на проблемите са многобройни, могат да се направят действия, да се създадат уравнения или тяхната система, но вторият вариант е най-удобен. За да стигнете до решението, ние създаваме таблица, както в предишния пример.

Сега се обръщаме към формулирането на уравнението. Тъй като кладенците са със същата дълбочина, тя има следната форма:

х + 3,4 + 21,6 = 3х-

х = 3х =-25

-2x = -25-

х = -25 / -2-

х = 12.5

Намерихме първоначалната дълбочина на второто кладенец, сега можем да намерим първата:

12,5 + 3,4 = 15,9 м.

След извършените действия ние задаваме отговора: 15,9 м, 12,5 м.

Двама братя

Обърнете внимание, че тази задача се различава от всички предишни, защото от първоначалното условие имаше същия брой обекти. Като се започне от това, помощната маса е съставена в обратен ред, т.е. от "стана" до "беше".

Състояние: двама братя получиха равен брой ядки, но по-възрастният даде брат си 10, след което ядките на по-младите станаха пет пъти по-големи. Колко ядки има за всяко момче?

Ние формираме уравнението:

х + 10 = 5х - 10-

-4х = -20-

х = 5 - станаха ядките на по-големия брат;

5 * 5 = 25 - по-малкият брат.

Сега можете да запишете отговора: 5 гайки - 25 гайки.

покупка

В училището трябва да си купите книги и преносими компютри, първите по-скъпи от втората на 4.8 рубли. Трябва да изчислите колко струват един преносим компютър и една книга, ако купите същите пет книги и двадесет и една преносими компютри със същата сума пари.

Преди да се стигне до решение, струва си да отговорите на следните въпроси:

• Какъв е проблемът в проблема?
• Колко плащаха?
• Какво си купихте?
• Какви стойности могат да бъдат изравнени?
• Какво трябва да знаете?
• Каква е стойността за х?

Ако сте отговорили на всички въпроси, ще се обърнем към решението. В този пример стойността на x може да се приеме като цената на един преносим компютър и цената на книгата. Да разгледаме два възможни варианта:

1. x е цената на един преносим компютър х + 4.8 - цената на книгата. Продължавайки от това, получаваме уравнението: 21х = 5 (х + 4.8).
2. x е цената на книгата х - 4.8 - цената на бележника. Уравнението има формата: 21 (х - 4.8) = 5х.

Можете да изберете по-удобен вариант за себе си, след това да решите две уравнения и да сравните отговорите, те да съвпадат като цяло.

Първият начин

Решението на първото уравнение е:

21х = 5 (х + 4.8) -

4,2x = х + 4,8-

4,2х-х = 4,8-

3,2 х = 4,8-

х = 1.5(RUB) - цената на един преносим компютър;

4.8 ± 1.5 = 6.3 (рубли) - цената на една книга.

Друг начин за решаване на това уравнение (отваряне на скоби):

21х = 5 (х + 4.8) -

21х = 5х + 24-

16х = 24-

х = 1,5 (рубли) - разходи за един преносим компютър-

1,5 + 4,8 = 6,3 (рубли) - цената на една книга.

Вторият начин

5х = 21 (х - 4.8) -

5х = 21х - 100.8-

16х = 100.8-

х = 6,3 (рубли) - разходи за 1 книга;

6.3 - 4.8 = 1.5 (рубли) - разходи за един преносим компютър.

Както може да се види от примерите, отговорите са идентични, поради което проблемът се решава правилно. Внимавайте за коректността на решението, в нашия пример, отговорите не трябва да бъдат отрицателни.

Има и други проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на уравнение, например на движение. Нека ги разгледаме по-подробно в следващите примери.

Две коли

В този раздел ще обсъдим задачите на движението. За да можете да ги разрешите, трябва да знаете следното правило:

S = V * T,

S - разстояние, V - скорост, T - време.

Нека се опитаме да разгледаме един пример.

наляво едновременно от точка А Две коли до точка Б. Първият общото разстояние, изминато с еднаква скорост, през първата половина на втория път се движи със скорост от 24 км / ч, а втората - 16 km / ч. Необходимо е да се определи скоростта на първия шофьор, ако в точка Б те се появяват едновременно.

Какво трябва да съставим уравнението: основната променлива V₁ (скорост на първата кола), второстепенен: S - пътека, T₁ - време по пътя на първата кола. уравнение: S = V₁ * T_1.

Следващата: втората кола първата половина на пътя (S / 2) пътува със скорост V₂= 24 km / h. Получаваме израз: S / 2 = 24 * Т_2.

В следващата част от пътуването той пътува със скорост на V₃ = 16 км / ч. Получаваме S / 2= 16 * Т₃.

Освен това, от условието може да се види, че автомобилите пристигат едновременно, следователно T₁ = T₂ + T₃. Сега трябва да изразим променливите T₁, T₂,T₃ от предишните ни условия. Получаваме уравнението: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S се приема като единство и решаваме уравнението:

1 / V₁ = 1/48 + 1 / 32-

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96 / 5-

V₁ = 19,2 km / h.

Това е отговорът. Проблемите, решени с помощта на уравнението, са сложни само на пръв поглед. В допълнение към горепосочените предложения работните задачи могат да се срещнат, какво е, да разгледаме в следващия раздел.

Предизвикателство за работа

За да разрешите този тип задачи, трябва да знаете формулата:

A = VT,

където А е работата, V е производителността.

За по-подробно описание трябва да дадете пример. Темата "Решаване на проблеми с уравнение" (степен 6) може да не съдържа такива проблеми, тъй като това е по-сложно ниво, но въпреки това даваме пример за познаване.

Внимателно прочетете условието: двама работници работят заедно и планират да изпълняват в продължение на дванадесет дни. Необходимо е да се определи колко време ще се наложи първият служител да изпълни самият стандарт. Известно е, че той изпълнява сумата на труда за два дни като втори служител в продължение на три дни.

Решаването на проблеми при съставянето на уравнения изисква внимателно прочитане на състоянието. Първото нещо, което разбрахме от задачата, че работата не е определена, означава, че я приемаме като единица, т.е. А = 1. Ако проблемът е за определен брой части или литри, тогава работата трябва да бъде взета от тези данни.

Обозначете производителността на първия и втория работници чрез V₁ и V₂ съответно, на този етап е възможно следното уравнение:

1 = 12 (V)₁ + V₂).

Какво ни казва това уравнение? Че цялата работа се извършва от двама души след дванадесет часа.

Освен това можем да заявим: 2V₁ = 3V₂. Тъй като първите в продължение на два дни правят толкова, колкото и вторият от три. Получихме система от уравнения:

1= 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

Въз основа на решението на системата получихме уравнение с една променлива:

1 - 8V₁ = 12V_1-

V₁ = 1/20 = 0.05.

Това е производителността на труда на първия работник. Сега можем да намерим времето, за което първият човек ще се справи с цялата работа:

А = V₁ * T_1-

1 = 0,05 * Т₁-

T₁ = 20.

Тъй като денят е взет като единица време, отговорът е: 20 дни.

Преформулиране на проблема

Ако сте усвоили уменията си за решаване на проблемите с трафика и имате някои трудности при задачите за работа, тогава е възможно да получите трафик от работа. Как? Ако вземем последния пример, тогава условието е следното: Олег и Дима се придвижват един към друг, срещат се за 12 часа. Колко ще преодолеят пътя независимо от Олег, ако се знае, че след два часа той пътува по пътя, равен на пътя на Дима, след три часа.