Изпъкнали многоъгълници. Определение на изпъкнал многоъгълник. Диагонали на изпъкнал многоъгълник

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници са естествени, например пчелни пчелни пити или изкуствени (създадени от хора). Тези цифри се използват при производството на различни видове покрития, като боядисване, архитектура, декорация и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са разположени от едната страна на линията, която минава през двойка съседни върхове на тази геометрична фигура. Има и други дефиниции. Изпъкнал е този многоъгълник, който се намира в една полуплана по отношение на която и да е линия, съдържаща една от страните му.

Изпъкнали многоъгълници

В хода на елементарната геометрия ние винаги разглеждаме само прости полигони. Да разберем всички свойства на такива геометрични форми е необходимо да се разбере тяхната природа. Първо, трябва да се разбере, че всяка линия, чиито краища съвпадат, се нарича затворена. И фигурата, образувана от нея, може да има разнообразни конфигурации. Многоъгълникът е проста затворена многоъгълна линия, чиито съседни връзки не лежат на една и съща линия. Връзките и върховете са, съответно, страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самосезарници.

Върховете на полигон се наричат ​​съседни, ако представляват краищата на една от страните му. Геометрична фигура, която има n-то число на върховете и следователно и n-тия брой страни, се нарича n-gon. Самото прекъсната линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Полигонална равнина или равнинен многоъгълник се нарича крайната част на всяка равнина, която е ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура са сегментите на прекъсната линия, започваща от един връх. Те няма да бъдат съседни, ако идват от различни върхове на полигона.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко еквивалентни дефиниции по отношение на нейната стойност, което показва кой полигон се нарича изпъкнал. И всички тези формули са еднакво верни. Изпъкнал многоъгълник се счита за:

• всеки сегмент, който свързва всяка две точки вътре в него, лежи в него;

• в него са разположени всичките му диагонали;

• всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180 °.

Полигонът винаги разделя равнината на две части. Един от тях е ограничен (той може да бъде затворен в кръг), а другият е неограничен. Първият се нарича вътрешен регион, а вторият се нарича външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечната точка (с други думи - общият компонент) на няколко полуплана. В този случай всеки сегмент, който завършва в точките, принадлежащи към полигона, изцяло принадлежи на него.

Сортове изпъкнали многоъгълници

Определението на изпъкнал многоъгълник не показва, че има много видове от тях. И всеки от тях има определени критерии. По този начин изпъкналите многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл, равен на 180 °, се наричат ​​слабо изпъкнали. Изпъкнало геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналата п-gons отговаря на следните по-важни изисквания: .. N трябва да бъде равна на или по-голямо от 3. Всяка от триъгълници е изпъкнал. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени на един кръг, се нарича вписан в кръг. Описан е изпъкнал многоъгълник, ако всички негови страни в близост до кръга го докосват. Два многоъгълника се наричат ​​равни, само ако могат да бъдат комбинирани с помощта на наслагване. Плосък многоъгълник наречен многоъгълна равнина (равнина част), че този ограничен геометрична фигура.

Редовни изпъкнали многоъгълници

Правилните полигони са геометрични фигури с равни ъгли и страни. Вътре има точка 0, която е на същото разстояние от всеки от нейните върхове. Той се нарича център на тази геометрична фигура. Сегментите, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апофими, а тези, които свързват точката 0 със страни са радиуси.

Правният четириъгълник е квадрат. Правният триъгълник се нарича равностранен. За такива цифри има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180 ° * (n-2) / n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Районът на всеки регулярен многоъгълник се определя от формулата:

S = p * h,

където p е равна на половината от сумата на всички страни на даден полигон и h е равна на дължината на апофемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че сегментът, който свързва две точки на такава геометрична фигура, задължително се намира в него. доказателство:

Да предположим, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземете две произволни точки, например, А и В, които принадлежат към P. С настоящото определение на изпъкнал многоъгълник, тези точки са разположени от едната страна на правата линия, която съдържа всяка посока R. Следователно AB има това свойство и се съдържа в R. изпъкнал многоъгълник винаги Възможно е да се разделят на няколко триъгълника с абсолютно всички диагонали, които са съставени от един от върховете му.

Ъглите на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, които се формират от неговите страни. Вътрешните ъгли са във вътрешната част на тази геометрична фигура. Ъгълът, който се образува от неговите страни, които се сливат на един връх, се нарича ъгълът на изпъкнал многоъгълник. Ъглите са съседни с вътрешните ъгли на дадена геометрична фигура, се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

180 ° - х,

където x е стойността на външния ъгъл. Тази проста формула се отнася за всички геометрични фигури от този тип.

По принцип за външни ъгли съществува следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180 ° и стойността на вътрешния ъгъл. То може да има стойности в диапазона от -180 ° до 180 °. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120 °, външният ъгъл ще бъде 60 °.

Сумата от ъглите на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

180 ° * (п-2),

където n е броят на върховете на n-gon.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник се изчислява съвсем просто. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъглите вътре в изпъкнал многоъгълник, един от върховете му трябва да бъде свързан с други върхове. В резултат на това действие получаваме (n-2) триъгълници. Известно е, че сумата от ъглите на всеки триъгълник е винаги 180 °. Тъй като техният брой във всеки полигон е равен (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180 ° х (n-2).

Сума изпъкнал многоъгълник ъгли, а именно всеки две съседни вътрешни и външни ъгли към тях, в тази изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъдат равни на 180 °. Като се започне от това, е възможно да се определи сумата на всички ъгли:

180 х н.

Сумата от вътрешните ъгли е 180 ° * (n-2). Изхождайки от това, сумата от всички външни ъгли на дадена цифра се определя от формулата:

180 ° * n-180 ° - (п-2) = 360 °.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360 ° (независимо от броя на неговите страни).

Външният ъгъл на изпъкнатия многоъгълник обикновено се представя с разлика между 180 ° и стойността на вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични фигури, те имат и други, които възникват, когато се манипулират. По този начин, всеки от полигоните може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-gons. За това е необходимо да продължите всяка от страните и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Разделете всеки полигон в няколко изпъкнали части е възможно и така, че горната част на всяка от фигурите съвпада с всички негови върхове. От тази геометрична фигура е много лесно да направите триъгълници, като държите всички диагонали от един връх. По този начин, всеки многоъгълник, в крайна сметка може да бъде разделен на определен брой триъгълници, което е много полезно при решаване на различни задачи, свързани с такива геометрични форми.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Сегментите на прекъсната линия, наречени страни на многоъгълник, най-често се обозначават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометричната фигура с върховете a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича периметър.

Кръг от многоъгълник

Изпъкнали полигони могат да бъдат вписани и описани. Кръг, който докосва всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписана в нея. Подобен полигон се нарича описан. Центърът на кръга, който е вписан в многоъгълника, е точката на пресичане на бисекторите на всички ъгли в рамките на дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е равна на:

S = p * r,

където r е радиусът на вписания кръг и p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

В близост до нея се описва кръг, съдържащ върховете на многоъгълник. В този случай тази изпъкнала геометрична фигура се нарича написана. Центърът на окръжността, който е описан близо до такъв многоъгълник, представлява точката на пресичане на т. Нар. Средни перпендикуляри на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са сегменти, които свързват съседни върхове. Всеки от тях лежи в тази геометрична фигура. Броят диагонали на такъв n-gon се определя от формулата:

N = n (n-3) / 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят триъгълници (K), в които може да се раздели всеки изпъкнал многоъгълник, се изчислява по следната формула:

K = n - 2.

Броят диагонали на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на върховете му.

Разцепване на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаването на геометрични проблеми е необходимо да се раздели изпъкнал многоъгълник в няколко триъгълника с разединени диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извличане на определена формула.

Дефиниране на проблема: ние наричаме отделен дял на изпъкнал n-gon в няколко триъгълника от диагонали, пресичащи се само на върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че P1, P2, P3 hellip-, Pn са върховете на този n-gon. Числото Xn е броят на дяловете му. Ние внимателно разглеждаме получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от редовните дялове P1 Pn принадлежи към определен триъгълник P1 Pi Pn, за който 1

Нека i = 2 е една група от редовни дялове, винаги съдържаща диагоналната P2 Pn. Броят на дяловете, които влизат в него, съвпада с броя дялове на (n-1) -gon P2 P3 P4hellip-Pn. С други думи, то се равнява на Xn-1.

Ако i = 3, тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. Освен това броят на редовните дялове, които се съдържат в тази група, съвпада с броя на дяловете (n-2) -gon P3 P4hellip-Pn. С други думи, то ще бъде равно на Xn-2.

Нека аз = 4, след правилното дял между триъгълници непременно ще съдържа триъгълник P4 Р1 Pn, който ще се допират четириъгълник P1 P2 P3 P4, (п-3) -gon R5hellip- P4 Рп. Броят на редовните дялове на такъв четириъгълник е равен на X4, а броят на дяловете на (n-3) -гона е равен на Xn-3. Въз основа на всичко казано по-горе, можем да кажем, че общият брой на редовните дялове, които се съдържат в тази група, е Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7hellip - ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 hellip-редовни дялове.

Нека аз = N-2, броят на правилните дялове в дадена група ще съвпадне с броя на дяловете в групата, в която аз = 2 (с други думи, се равнява на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2hellip-, броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3X4 + Xn-4X5 + хелип- + X5Xn-4 + X4Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

например:

Х5 = Х4 + ХЗ + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Броят на редовните дялове, пресичащи един диагонал

При проверката на конкретни случаи може да се приеме, че броят на диагоналите на изпъкнали n-gons се равнява на произведението на всички прегради на тази фигура с (n-3).

Доказателството за това предположение: предположим, че P1N = Xn * (п-3), тогава всеки п-гон може да бъде разделена на (п-2) е триъгълник. В същото време, една от тях може да се комбинира (n-3) - квадратът. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като тази изпъкнала геометрична фигура две диагонали могат да се извършват, което означава, че във всеки (п-3) -chetyrehugolnikah може да извършва допълнителна диагонал (п-3). Като се започне от това, може да се заключи, че при всеки редовен дял е възможно да се извършат (n-3) диагнози, съответстващи на условията на този проблем.

Област на изпъкналите многоъгълници

Често, когато се решават различни проблеми на елементарната геометрия, става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да предположим, че (Xi, Yi), i = 1,2,3hellip-n е последователност от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самосезаявки. В този случай площта му се изчислява по следната формула:

S = frac12- (sum- (X_аз + X_{i + 1}) (Y_аз + Y_{i + 1})),

където (Х₁, Y₁) = (Х_{n +1}, Y_{n + 1}).