Как да извлечем деривацията на косинуса

Козиновият дериват е по аналогия с производно на синусите, основата на доказателството е определянето на границата на функция Можете да използвате различен метод, като използвате тригонометрични формули за намаляване на косинуса и задължителните ъгли. Експресирайте една функция чрез друга - косинус през синусоида и разграничавайте синуса с комплексен аргумент.

Обмислете първия пример за получаването на формулата (Cos (x)) `

Даваме незначително малко увеличение Делта-х аргумент x на функцията y = Cos (x). С новата стойност на аргумента x + Delta-x получаваме новата стойност на функцията Cos (x + Delta-x). След това увеличението на функцията Делта-у ще бъде равно на Cos (x + Delta-x) -Cos (x).
Съотношението на нарастването на функцията k Delta-x ще бъде както следва: (Cos (x + Delta-x) -Cos (x)) / Delta-x. Извършваме идентични трансформации в числителя на получената фракция. Припомнете формулата за разликата на коефициентите на ъглите, резултатът е продуктът -2Sin (Delta-x / 2), умножен по Sin (x + Delta-x / 2). Намираме границата на частичния лимит на този продукт Delta-x в Delta-x, с тенденция към нула. Известно е, че първото (наречена забележителен) лимит Лим (Sin (Delta-х / 2) / (Delta-х / 2)) е равно на 1, и ограничаване -Sin (х + Delta-х / 2) е равен -Sin (х ) с Delta-x има тенденция към нула.
Напишете резултата: производната (Cos (x)) `е - Sin (x).

Някои хора харесват втория начин да извлекат същата формула

От хода на тригонометрията е известно: Cos (x) е равно на Sin (0.5middot-prod-x), подобно на Sin (x) е Cos (0.5middot-prod-x). След това разграничаваме композитната функция - синуса на допълнителния ъгъл (вместо косинуса x).
Получаваме продукта Cos (0.5middot-prod-x) middot- (0.5middot-prod-x) `, защото производното на синуса x е равно на косинуса на x. Достъп до втори формула Sin (х) = Cos (0,5middot-про - х) заместване на косинус и синуса, ние считаме, че (0,5middot-про - х) = 1. Сега получаваме -Sin (x).
По този начин открихме косинусното производно, y `= -Sin (x) за функцията y = Cos (x).

Квадратно косиново производно

Често използван пример, при който се използва производното на косинуса. Функцията y = Cos²(х) е сложно. Намираме първата диференциална сила функция с експонента 2, ще бъде 2middot-Cos (х), след това се умножава по производно (Cos (х)) ", която е равна -Sin (х). Получаваме y `= -2middot-Cos (x) middot-Sin (x). Когато приложим формулата Sin (2middot-x), задължително на двойния ъгъл, получаваме окончателно опростена
отговор y `= -Sin (2middot-x)

Хиперболични функции

Приложен в изучаването на много технически дисциплини: в математиката, например, улеснява изчисляването на интегралите, решението диференциални уравнения. Те се изразяват по отношение на тригонометрични функции с въображаеми аргументи, така хиперболичен косинус гл (х) = Cos (imiddot-х), където аз - е имагинерна единица, хиперболичен синус ш (х) = Sin (imiddot-х).
Хиперболичното косиново производно лесно се изчислява.
Помислете за функцията y = (напр^х+д^-х) / 2, това е хиперболичният косинус на ch (x). Използваме правилото за намиране на производното на сумата от два израза - правилото за осъществяване на постоянен фактор (Const) зад знака на производното. Вторият термин е 0.5 милион^-х Е комплексна функция (нейното производно е -0.5middot-e^-х), 0.5middot^хТова е първият мандат. (ch (x)) `= ((напр<sup>х</sup>+д<sup>-х</sup>) / 2) "могат да бъдат написани по различен начин: (0.5middot-e<sup>х</sup>+0,5middot-д<sup>-х</sup>) `= 0,5 милимола^х-0,5middot-д^-х, защото дериватът (напр^-х) е -1, умножено по e^-х. Резултатът е разликата и това е хиперболичната задължителност на sh (x).
Заключение: (ch (x)) `= sh (x).
Да разгледаме примера за това как да се изчисли деривата на функцията y = ch (x<sup>3</sup>+1).
за правилото за диференциация хиперболичен косинус със сложен аргумент y `= sh (x³+1) middot- (x³+1), където (х³+1) `= 3middot-x²+0.
Отговор: Производството на тази функция е 3middot-x²middot-sh (х³+1).

Дериватите на функциите y = ch (x) и y = Cos (x) са таблични

Когато решаваме примери, не е необходимо да ги различаваме всеки път според предложената схема, достатъчно е да използваме деривацията.
Пример. Разграничаваме функцията y = Cos (x) + Cos²(-х) -Ch (5middot-x).
Лесно е да се изчисли (използвайте табличните данни), y `= -Sin (x) + Sin (2middot-x) -5middot-Sh (5middot-x).