Първият знак за равенство на триъгълници. Вторият и третият знак за равенство на триъгълници

Сред огромния брой полигони, които по същество са затворена не пресичаща се прекъсната линия, триъгълникът е цифрата с най-малък брой ъгли. С други думи, това е най-простият многоъгълник. Но въпреки цялата си простота тази фигура съдържа много загадки и интересни открития, които са обхванати от специална секция на математиката - геометрията. Тази дисциплина в училищата започва да се преподава от седмия клас и тук се обръща специално внимание на темата "Триъгълник". Децата не само научават правилата за самата фигура, но и ги сравняват, изучавайки 1, 2 и 3 знака за равенство на триъгълници.

Първото познание

Едно от първите правила, с които студентите се запознават, звучи така: сумата от величините на всички ъгли на триъгълника е 180 градуса. За да потвърдите това, е достатъчно с помощта на потеглението да измервате всеки от върховете и да добавяте всички получени стойности. Като се започне от това, за две известни количества е лесно да се определи третата. Например: В триъгълника един от ъглите е 70 °, а другият - 85 °, каква е стойността на третия ъгъл?

180 - 85 - 70 = 25.

Отговор: 25 °.

Проблемите могат да бъдат по-сложни, ако е зададена само една стойност на ъгъла, а втората - само колко пъти или колко пъти е по-голяма или по-малка.

В триъгълника, за да се определи някой от неговите черти, могат да бъдат изчертавани специални линии, всеки от които има собствено име:

• височина - перпендикулярна линия, изведена от върха към противоположната страна;
• и трите височини, държани едновременно в центъра на фигурата, се пресичат, образувайки ортоцентър, който в зависимост от вида на триъгълника може да бъде вътре или навън;
• средна - линията, свързваща върха със средата на противоположната страна;
• Пресичането на медианите е точката на тежестта, е вътре в фигурата;
• bisectrix е линията, преминаваща от върха до точката на пресичане с противоположната страна, точка на пресичане на трите bisectors е центърът на вписания кръг.

Прости истини за триъгълниците

Триъгълниците, както и всички фигури, имат свои собствени характеристики и свойства. Както вече беше споменато, тази цифра е най-простият многоъгълник, но със своите характерни черти:

• срещу най-дългата страна винаги има ъгъл с по-голяма стойност и обратно;
• Равните ъгли лежат на еднакви страни, като пример е един равнобедрен триъгълник;
• сумата от вътрешните ъгли е винаги 180 °, което вече е демонстрирано чрез примера;
• когато едната страна на триъгълника се простира извън неговите граници, се формира външен ъгъл, който винаги ще бъде равен на сумата от ъглите, които не са в съседство с него;
• всяка от страните е винаги по-малка от сумата на другите две партии, но повече от разликата им.

Видове триъгълници

Следващият етап на познаване е да се определи групата, към която принадлежи триъгълникът. Принадлежността към един или друг вид зависи от ъглите на триъгълника.

• Равен - с две равни страни, които се наричат ​​странични, третият в този случай действа като основа на фигурата. Ъгловете в основата на такъв триъгълник са еднакви, а средната, извадена от върха, е bisectrix и височината.
• Регулярен или равномерен триъгълник е един с всички страни равен.
• Правоъгълен: един от ъглите му е 90 °. В този случай страната, която се намира срещу този ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите две - от краката.
• Острите триъгълници - всички ъгли са по-малки от 90 °.
• Тръбна ъгъл - един от ъглите е по-голям от 90 °.

Равенство и сходство на триъгълници

В процеса на учене, не само помислете за една цифра, но и сравнете два триъгълника. И тази привидно проста тема има много правила и теореми, на които може да се докаже, че разглежданите цифри са равни триъгълници. Знаците за равенство на триъгълниците имат следната дефиниция: триъгълниците са еднакви, ако съответните им страни и ъгли са еднакви. С тази равнопоставеност, ако надхвърлите тези две фигури един на друг, всичките им линии ще се сближат. Също така цифрите могат да бъдат подобни, по-специално, това се отнася за почти идентични цифри, които се различават само по мащаб. За да се направи такова заключение за представените триъгълници, трябва да се спази едно от следните условия:

• два ъгъла на една фигура са равни на два ъгъла на другия;
• двете страни на едната са пропорционални на двете страни на втория триъгълник, а ъглите, образувани от страните, са равни;
• трите страни на втората фигура са същите като първата.

Разбира се, за безспорен равенство, което не причинява най-малкото съмнение, трябва да имат едни и същи стойности на всички елементи на двете фигури, но с проблема на теорията е много опростен, и само на няколко условия могат да се наложи да се докаже, че триъгълници.

Първият знак за равенство на триъгълници

на тема проблеми са решени въз основа на доказателство на теоремата, който гласи следното: ". Ако двете страни на триъгълник и ъгълът, които те образуват, са равни на две страни и ъгъл на другия триъгълник, а след това цифрите също са равни помежду си"

Как звучи доказателството на теоремата за първия знак за равенство на триъгълниците? Всеки знае, че два сегмента са еднакви, ако имат еднаква дължина или кръговете са еднакви, ако имат същия радиус. И в случай на триъгълници, има няколко характеристики, които, може да се предположи, че цифрите са идентични, което е много удобно за решаване на различни геометрични проблеми.

Как звучи теоремата "Първият знак за равенство на триъгълниците", описана по-горе, но нейното доказателство:

• Представете триъгълници ABC и A₁В₁C₁ имат едни и същи страни AB и A₁В₁ и, съответно, BC и B₁C₁, и ъглите, които се образуват от тези страни, имат еднаква стойност, т.е. те са еднакви. След това, прилагайки △ ABC на △ A₁В₁C₁ получаваме съвпадение на всички линии и върхове. От това следва, че тези триъгълници са абсолютно еднакви и следователно са еднакви един с друг.

Теоремата "Първият знак за равенство на триъгълниците" се нарича "От двете страни и ъгъла". Всъщност това е същността му.

Теорема за втората характеристика

Вторият знак за равенство се доказва по подобен начин, доказателството се основава на факта, че когато фигурите са насложени едно върху друго, те напълно съвпадат на всички върхове и страни. А теорема звучи така: "Ако една страна и два ъгъла при формирането на които участва, партията и на двата ъгъла на втория триъгълник, а след това тези цифри са идентични, т.е. равни."

Третият знак и доказателства

Ако и двете, и една от равенството на триъгълниците докоснаха двете страни и ъглите на фигурата, то третата се отнася само до страните. Така че теоремата има следната формулировка: "Ако всички страни на един триъгълник са равни на три страни на втория триъгълник, тогава цифрите са идентични".

За да докажем тази теорема, трябва да разгледаме по-подробно самото определение за равенство. По същество, какво означава изразът "триъгълници равни"? Идентичността предполага, че ако наложите една фигура върху друга, всичките й елементи ще съвпадат, това може да бъде само ако техните страни и ъгли са еднакви. В същото време ъгълът срещу една от страните, който е същият като този на другия триъгълник, ще бъде равен на съответния връх на втората фигура. Трябва да се отбележи, че на това място доказателството лесно може да бъде преведено на 1 знак за равенство на триъгълници. Ако такава последователност не се наблюдава, равенството на триъгълниците е просто невъзможно, освен когато фигурата е огледален образ на първия.

Правоъгълни триъгълници

В структурата на такива триъгълници, винаги има върхове с ъгъл от 90 °. Следователно, следните твърдения са верни:

• триъгълниците с прав ъгъл са равни, ако краката на единия са идентични с краката на втория;
• цифрите са равни, ако тяхната хипотенуза и един от краката са равни;
• тези триъгълници са еднакви, ако краката им и остър ъгъл са идентични.

Този атрибут се отнася до дясно триъгълници. За да докажете теоремата, приложете приложението на фигурите един към друг, в резултат на което триъгълниците са сгънати от краката, така че две прави линии разширен ъгъл със страните CA и CA₁.

Практическо приложение

В повечето случаи първият знак за равенство на триъгълниците се прилага на практика. В действителност, това на пръв поглед прост клас за геометрия и планиметрия използва тема и 7 да се изчисли дължината, например, че телефонният кабел без измервателната площ, в която ще се проведе. С помощта на тази теорема е лесно да се направят необходимите изчисления, за да се определи дължината на острова в средата на реката, без да се пресичат. Или укрепи оградата чрез поставяне на бара в залива, така че да се разделя на две равни триъгълници, или изчисляване на сложни елементи на работата в дърводелски или при изчисляване на съцветие покривна система по време на строителството.

Първият знак за равенство на триъгълниците има широко приложение в истински "възрастен" живот. Въпреки че през учебните години тази тема за мнозина изглежда отегчителна и напълно ненужна.